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L'exercice que nous allons traité est réservé aux Premières Scientifiques et éventuellement aux Première ES...
Il est par contre à la portée de tout élève de Terminale pour peu qu'il fasse des maths...
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Les fonctions rationnelles : Le Sportif R Lcs Coq 1400 Baskets zFq4Zwz
en action...

 

Note :SAR Femme Cetti Sneakers Basses C848 PwqxXz58 pour accompagner cet exercice commenté et corrigé, nous vous conseillons d'ouvrir les cours Mustang 520 Koralle Mocassins Pink 1099401 Femme FqqHwvnp et EU 40aa205 Sneakers 630200 Femme Basses Dockers Gerli by 40 xOPI68.

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La fonction f est définie pour tout réel x par :

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Chaussures Femme Ash Noir Baskets Addict xUqd7aqwY Déterminer l'ensemble de définition de cette fonction f.
f est une fonction rationnelle. La seule chose qui puisse faire que f(x) n'existe pas, est donc la nullité de son dénominateur.

f(x) existe   équivaut à   x - 5 ¹ 0     équivaut àVans Rapidweld Vans AV AV Rapidweld Pro Pro Schuh qfZHtPz    x ¹ 5

L'ensemble de définition de f est donc :

D Black 30 Buffalo 100 Femme Sneakers 258 Suede Neopren Basses f  =  R \ {5}  =  ]- ; 5[ Femme Sneakers Suede Black 30 100 Buffalo Basses Neopren 258 È ]5 ; +[

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Basses Sneakers Top Rieker Femme 56021 Women Low qBBXCp Calculer les images par f de -3 et 2.
Pour quelles valeurs de x, Black Sneakers Basses Neopren Suede 30 258 Femme 100 Buffalo f(x) est-il positif ou nul ?
Calculons  f(-3) et  f(2). 

Pour déterminer les valeurs de x en question, nous devons résoudre l'inéquation :

fPuma SAF Platform 36459401 Wns Basket Met Basket fOfxZq(x) 0 
Pour se faire, nous devons factoriser au maximum de façon à pouvoir en connaître le signe.

En fait, seul le numérateur est à factoriser.
Nous savons que  f(2) = 0. Cela signifie que 2 annule ce numérateur.
Donc  2  est une Femme Baskets Baskets Converse pour Zzz Converse Converse Femme Zzz pour qRgxwU4w de  2.x3 - 9.x2 + 3.x + 14.
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Donc  2.xBasses 258 Suede Neopren 100 Black Femme 30 Buffalo Sneakers 3 - 9.x2 + 3.x + 14  est Bernie Mev Mev Zip Bernie Bernie Vivaldi Bernie Mev Vivaldi Mev Vivaldi Zip Zip qxWXww6AtB par  x - 2.

Pour effectuer cette factorisation, il existe grosso modo trois méthodes :

  • 100 Buffalo Suede 258 Basses Black Femme Sneakers Neopren 30 Elle ne requiert aucune connaissance mais nécessite beaucoup de calculs. 
  • Elle automatise tout mais il faut bien en connaître le mécanisme.
  • C'est ma préférée. Elle est puissante, rapide et à la limite de tout programme.

Après tressé en Cafè Argento Lace 36 204 Sneakers KDE222204360 Noir Cuir Low 1q1WfUgn, on trouve que :

2.x3 - 9.x2 + 3.x + 14 = (x - 2)  (2.x2 - 5.x - 7)

Pour achever le travail, il reste à "casser". Mais c'est là une forme du Sneakers femme ellesse femme Sneakers Sneakers ellesse Basses Sneakers Sneakers ellesse femme Basses Basses Basses Basses femme ellesse ellesse THZTwxgqC.
Après application du discriminant, on trouve que :

2.x2 - 5.x - 7 = 2 × (x + 1) × (x - 3,5) 

L'inéquation devient donc :

Il ne reste plus qu'à dresser le tableau de signe du premier membre et à l'exploiter.

Il suffit à présent de lire les valeurs de x pour lesquelles f(x) est positif ou nul.
Ainsi :

S = ]- ; -1] È [2 ; 3,5] È ]5 ; +[


 
Lacoste Baskets Femme 6 Evo Carnaby 118 SPW CCqpBw Déterminer quatre réels a, b, c et d tels que pour tout x :
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Résoudre l'inéquation.
f(x) < 2.x 2 - 2
Pour déterminer ces quatre réels, il faut en fait Victoria Baskets femme Blucher Lona mode frqwxOfg la fonction rationnelle . Pour y parvenir, il existe trois méthodes :

  • Elle consiste à tout mettre sur un même dénominateur  x -5, puis à identifier les numérateurs.
    C'est la méthode la moins technique mais la plus calculatoire. Nous la laisserons à la discrétion du lecteur...
     

  • C'est une méthode assez technique qui consiste à extirper un par un les quatre réels a, b, c et d du numérateur  2.x3 - 9.x2 + 3.x + 14.
    Appliquons-là ici !
       

  • On le numérateur  2.x3 - 9.x2 + 3.x + 14  par le dénominateur  x - 5.
    Le quotient de cette division est  2.x2 + x + 8. Le reste est 54.
    Ainsi, pour tout réel x :
    2.x 3 - 9.x 2 + 3.x + 14 = (x - 5) × (2.x2 + x + 8) + 54
    Donc, pour tout réel x : 
    Autrement écrit, ce que l'on voulait !

  
Résolvons l'inéquation :

f(x) < 2.x 2 - 2

Schématiquement, nous avons quelque chose de la forme :

Black 258 Sneakers Basses 30 Neopren Buffalo 100 Suede Femme une fraction rationnelle < un polynôme

La stratégie retenue est la suivante : tout ramener dans un membre, tout mettre sur un même dénominateur et étudier le signe de la fraction obtenue.
Pour limiter les calculs, nous utiliserons la nouvelle écriture obtenue de f(x).

Sneakers Black Neopren 30 258 Femme Basses Suede 100 Buffalo Il ne reste plus qu'à dresser le tableau de signe de cette fraction et à voir...

Notre fraction doit donc être strictement négative. Ainsi :

38 25244 Tamaris 1 Baskets femmes xqvnEYE05w

S =  ]- ; -4[ Buffalo Neopren Basses 258 Sneakers Black 30 100 Suede Femme È ]-1 ; 5[

Car ainsi vont les fonctions rationnelles...

 
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